EL POLINOMIO VILLARREAL

 

EL POLINOMIO VILLARREAL
El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:

1. Elevación de Polinomios
2. Transformación de Imaginarias
3. Volumen de Cuerpos Regulares
4. Integración por Partes

En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:

Sea un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:

la expresión resultante la denotamos por:

Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.

El método de Villarreal establece previamente una simbología:

• El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: .
• Dividase el 2do término del polinomio entre el primero y llámese el cociente, dividase el 3er término entre el primero y sea el cociente , el cuarto término entre el primero y sea el cociente ….  es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
• Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,…   por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
• Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino  multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos , el penúltimo término   multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos , el antepenúltimo término   multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos , ……., así tendremos:

EJEMPLO:

Supongamos que deseamos obtener con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:

1. Considerar como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la  evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio,es decir:
2. La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.

Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:

Ahora recurrimos al método de Villarreal:

   

    .

    .

    .

Luego obtendremos el siguiente resultado:

Para poder hacer  la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:

converge

es decir se dá la convergencia si :

Luego si hacemos   en la expresión resultante:

Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomasemos más términos en la expresión resultante.